AREA Y PERIMETRO DE UN POLIGONO REGULAR DE n LADOS

¿QUE ES UN POLIGONO REGULAR?

Un polígono regular es aquella figura geométrica que tiene todos sus lados de la misma longitud. A su vez, sus ángulos interiores también comparten la misma medida.

Recordemos que un polígono regular se compone de:

n lados iguales.

n ángulos internos iguales.

PERIMETRO DE UN POLIGONO REGULAR

Perímetro (P): Se multiplica el número de lados (n) por la longitud (L) de cada lado.

Donde:

P = perímetro

n = número de lados

l = longitud del lado

AREA DE UN POLIGONO REGULAR

Área (A): Se multiplica el perímetro (P) por la apotema (a) y se divide entre dos.

Donde:

A = área

P = perímetro

a = apotema

APOTEMA: El apotema de un polígono regular es la distancia que hay del centro del polígono al punto medio de cualquiera de sus lados.

EJEMPLO 1: Calcular el perímetro y área de un pentágono que mide 5 cm por lado y 3.44 cm de apotema.

EJERCICIO 2: Calcular el perímetro y área de un dodecágono que mide 5 cm por lado y 9.18 cm de apotema.

EJERCICIO: Supongamos que tenemos un polígono regular de seis lados donde cada lado mide 12 metros ¿Cuál es el perímetro y área de la figura?

AREA Y PERIMETRO DE UN TRAPECIO

¿Qué es un trapecio?

El trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos, es decir, que no se cruzan, aunque sean prolongados. Estos son llamados bases del trapecio. En tanto, sus otros dos lados no son paralelos.

¿Cómo calcular el perímetro de un trapecio?

Para calcular el perímetro de un trapecio, tenemos que sumar la longitud de todos sus lados. Entonces, la fórmula del perímetro de un trapecio es:

p=a+b+c+d

En donde, “a, b, c, d” representan a las longitudes de los lados del trapecio.

Perímetro de un trapecio isósceles

En un trapecio isósceles, dos de sus lados tienen la misma longitud, entonces, podemos calcular su perímetro con la siguiente fórmula:

p=a+b+2c

¿Cómo calcular el área de un trapecio?

Para encontrar el área de un trapecio, tenemos que sumar las longitudes de sus bases. Luego, multiplicamos a esa suma por la altura del trapecio y dividimos el resultado por 2. Entonces, la fórmula para el área del trapecio es:

A=(b1​+b2​)h​

           2

En donde,

b1​= la longitud una base del trapecio

b2​= la longitud de la otra base del trapecio

h= la altura del trapecio

EJEMPLO 1

Si es que un trapecio tiene lados de longitud 6 cm, 8 cm, 5 cm y 7 cm, ¿cuál es su perímetro?

Usamos la fórmula del perímetro de un trapecio con las longitudes dadas:

p=a+b+c+d

p=6+8+5+7

p=26

EJEMPLO 2

Determina el área de un trapecio que tiene bases con longitudes 11 cm y 15 cm y una altura de 12 cm.

Tenemos lo siguiente:

Base 1, b1=11

Base 2, b2​=15 cm

Altura, h=12 cm

Al aplicar estos valores en la fórmula del área, tenemos:

A=(b1​+b2​)h​

            2

A=(11+15)12​

            2

A=(26)(12)​

          2

A=312​

       2

A=156

El área del trapecio es 156 cm².

AREA Y PERIMETRO DE UN ROMBOIDE

¿Qué es un romboide?

El romboide es un cuadrilátero, específicamente un paralelogramo, que tiene dos ángulos idénticos agudos (menores que 90º) y otro par de ángulos, también iguales, que son obtusos (mayores que 90º). Asimismo, dos de sus lados miden lo mismo, y los otros dos también comparten la misma longitud.

¿Cómo se calcula el Perímetro de un romboide?

El Perímetro de un romboide es igual a la suma de todos sus lados.

Perímetro: Suma de sus cuatro lados.

El romboide tiene sus lados iguales paralelos. Por tanto, sería:

P = 2 L + 2B

¿Cómo se calcula el Área de un romboide?

El área del romboide es igual a la base por la altura.

Superficie = Base x Altura

Ejemplo: Supongamos que tengo un romboide cuyos lados miden 30 y 25 metros. Además, la altura del lado más grande es 20 metros. ¿Cuál es el perímetro y área del romboide?

Perímetro

P= (2 x 30)+(2 x 25) 

P= (60)+(50)

P=110 metros

Área

A= 30 x 20

A= 600 metros cuadrados

Mas contenido

Ejercicios:

1. Supongamos que tenemos un romboide con lados que miden 10 y 12 metros y el ángulo que se forma entre ellos es 60º. ¿Cuál es el perímetro y área de la figura?

Actividad: Identifique el Romboide

AREA Y PERIMETRO DE UN ROMBO

¿Qué es un rombo?

Un rombo es cualquier paralelogramo que posee lados congruentes. Las diagonales de un rombo cuentan con propiedades usadas en la fabricación de periscopios, para ello se utilizan rombos cuyos ángulos son rectos

¿Cómo se calcula el Perímetro de un rombo?

El Perímetro de un rombo es igual a la suma de todos sus lados.

Perímetro: Suma de sus cuatro lados.

El rombo tiene sus lados iguales paralelos. Por tanto, sería:

P = 4 L

¿Cómo se calcula el Área de un rombo?

El área del rombo es igual a la Diagonal mayor por la diagonal menor entre dos. Es decir:

A= D x d

2

En muchos sitios encontraremos como a la Diagonal mayor se la denomina “D” y a la menor “d.”

Ejemplo:

Ejercicio: Calcular el área y perímetro del siguiente rombo

PERIMETRO Y AREA DE UN PARALELOGRAMO

¿Qué es un paralelogramo?

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.

Perímetro

El perímetro de un paralelogramo representa la longitud del contorno del paralelogramo. 

Área

El área es una medida del espacio bidimensional ocupado por la figura. Podemos encontrar el perímetro del paralelogramo al sumar las longitudes de sus cuatro lados y podemos calcular el área al multiplicar la longitud de su base por su altura.

Ejemplo

1. Encuentra el perímetro de un paralelogramo que tiene lados de longitud 8 mm y 12 mm.

Tenemos las siguientes longitudes:

Lado 1, a=8 mm

Lado 2, b=12 mm

Al aplicar la fórmula del perímetro con estos valores, tenemos:

p=2(a+b)

p=2(8+12)

p=2(20)

p=40

El perímetro del paralelogramo es igual a 40 mm.

2. Encuentra el área de un paralelogramo que tiene bases de longitud 12 m y una altura de 11 m

Solución

Tenemos lo siguiente:

Base, b=12b=12m

Altura, h=11h=11 m

Al usar la fórmula del área con estas longitudes, tenemos:

A=bh

A=(12)(11)

A=132

El área del paralelogramo es 132 m².

Ejercicios

1. Encuentra el área de un paralelogramo que tiene una base de 18 mm y una altura de 22 mm.

2. Calcula el perímetro de un paralelogramo que tiene lados de longitud 13 cm y 15 cm.

AREA Y PERIMETRO DE UN RECTANGULO

¿Qué es un rectángulo?

Un rectángulo es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Todos los rectángulos también son paralelogramos, pero no todos los paralelogramos son rectángulos.

Perímetro

El perímetro P de un rectángulo está dado por la fórmula, P = 2 b + 2 a, donde b es la longitud y a es el ancho del rectángulo.

Área

El área A de un rectángulo está dado por la fórmula, A = b x a , donde b es la base y h es el altura.

Ejemplo: El perímetro de una alberca rectangular es de 56 metros. Si la longitud de la alberca es de 16 metros, entonces encuentre su ancho.

P = 2b + 2a

56 = 2(16) + 2a

56 = 32 + 2a

56-32 = 2a

24 = 2a

24 = a

2

12 = h

El ancho de la alberca es de 12 metros

Ejercicio: El área de una cerca rectangular es de 500 pies cuadrados. Si el ancho de la cerca es de 20 pies, entonces encuentre su longitud.

AREA Y PERIMETROS DE UN CUADRADO

¿QUE ES UN CUADRADO?

Un cuadrado en geometría es un cuadrilátero regular, es decir, una figura plana de cuatro lados congruentes y paralelos dos a dos, y cuatro ángulos interiores rectos (90°), por lo que también cumple con la definición de rectángulo y paralelogramo

PERÍMETRO Y ÁREA DEL CUADRADO

PERÍMETRO

El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del lado

P = 4 · L

ÁREA

El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado.

A= L²

EJEMPLO: Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 5 m.

Perímetro

P = 4L

P = 4(5 cm)

P = 20 cm

Área 

A = L²

A = (5 cm)²

A = 25 cm²

VIDEO EXPLICATIVO 

EJERCICIOS: 

1. Calcule el área y perímetro de un cuadrado de 10 cm

2. Calcule el área y perímetro de un cuadrado base de 7 cm y altura 7 cm

AREA Y PERIMETRO DE UN TRIANGULO

¿QUE ES UN TRIANGULO?

El triángulo es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.

¿COMO SE CALCULA EL PERMITRO DE UN TRIANGULO?

El Perímetro de un triángulo es igual a la suma de todos sus lados.

Perímetro: Suma de sus tres lados.

• Si el triángulo es equilátero, como sus lados (L) son iguales, sería 3L.
• En el caso de que fuese Isósceles, dos lados iguales uno distinto, sería 2L+b.
• Si es Escaleno, tres lados distintos, el perímetro sería a+b+c.

¿COMO SE CALCULA EL AREA DE UN TRIANGULO?

El área del triángulo es igual a la base por la altura partido por dos.

Es decir: A =  b X h

                       2

EJEMPLO: Calcular el área y el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 7 y 9 cm

1. Calculamos el área


A = b × h 

       2

A = 7 cm × 9 cm 

       2

A = 31.5 cm ²


2. Ahora para obtener el perímetro debemos averiguar sobre el lado desconocido

Tenemos dos catetos por lo que utilizando el teorema de Pitágoras obtendremos la hipotenusa

c² = a² + b²

c² = 7² + 9²

c² = 49 + 81

c² = 130

√c² = √130

c = 11.40

3. Ahora bien tenemos los 3 lados con sus medidas, obtenemos el perímetro:

P = L + L + L

P = 7 + 9 + 11.40

P = 27.40

A CONTINUACION UN VIDEO REFORZANDO EL CONTENIDO

CUESTIONARIO DE VERIFICACION DEL CONTENIDO

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FACTORIZACION DE POLINOMIOS POR FACTOR COMUN

Se conoce como factor común al número o variable que se encuentra en todos los términos de un polinomio.

Para factorizar por factor común debes seguir estos pasos:

EJEMPLO: 

3X² + 18X + 9X³

El coeficiente común es 3

La variable o literal común es X

Exponente menor 1

3X¹ Seria este el factor común

Se procede a dividir los términos del polinomio con el factor común

(3X²) = X

 3X¹

(18X ) = 6

 3X¹

(9X³) = 3X²

 3X¹

El resultado sería:  3X¹ (X + 6 + 3X²)

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas son los cocientes o razones que pueden hacerse con el valor de los lados de un triángulo rectángulo. Estos lados son: dos catetos que forman 90º entre sí y la hipotenusa, que forma el ángulo agudo θ con uno de los catetos.

Se pueden formar 6 cocientes. Sus nombres y respectivas abreviaturas son:

· seno (sen)

· coseno (cos)

· tangente (tg)

· cotangente (cot)

· secante (sec) y

· cosecante (cosec)

EJEMPLO: Determina las tres razones trigonométricas para el ángulo α.

 

Sen α= 4/5                                                                                                           Cosec α=5/4
Cos α=3/5                                                                                                            Sec α=5/3
Tan α=4/3                                                                                                             Cot α=3/4

EJERCICIO: Determina las tres razones trigonométricas para el ángulo θ.

FACTORIZACION POR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

 ¿QUE ES UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO?

En matemáticas, un trinomio cuadrado perfecto, por brevedad también conocido como TCP, es el trinomio que se obtiene de elevar un binomio al cuadrado.

Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto consiste en un polinomio con dos cuadrados perfectos y otro término que es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

IMPORTANCIA DE SABER RESOLVER UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

La importancia del trinomio cuadrado perfecto en la vida cotidiana es que nos ayuda a resolver problemas matemáticos de una manera más eficiente. También nos permite factorizar ecuaciones y simplificar expresiones algebraicas de una manera más sencilla.

TIPOS DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

1. De la forma:

2. De la forma:

VAMOS APLICAR UNOS EJEMPLOS

1. 4x² + 12x y ² + 9y² 

SOLUCION:

4x² + 12x y ² + 9y²  = (√a + √b) 

a                       b

                                =( (√4x²) + (√9y²) ) 

                                = (2x + 3y)

2. 25m⁴ - 40m² + 16 

SOLUCION:

25m⁴ - 40m² + 16 = (√a - √b)

a                       b

                              = ( (√25m⁴) - (√16) ) 

                              

                              = (5m² - 16)

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